Section 02 · Integral

🤔 Kenapa integral penting?

Turunan memecah sesuatu menjadi potongan sesaat. Integral mengumpulkan kembali potongan-potongan itu. Dua sisi koin yang sama, saling kebalikan.

📏Ingin tahu luas area tak beraturan di bawah kurva? Integral bisa menghitungnya persis.

💊Berapa total obat yang terserap tubuh selama 8 jam? Integral dari kurva konsentrasi terhadap waktu.

⚡Energi listrik = integral dari daya terhadap waktu. Fisika dan teknik pakai ini setiap hari.

🔄Integral adalah kebalikan turunan — temuan terbesar Newton dan Leibniz abad ke-17.

🎯 Gambaran Besar Section 02

Tiga Konsep Utama

Konsep 1

Anti-Turunan

∫f(x)dx — kebalikan dari turunan. Hasilnya selalu + C (konstanta integrasi).

Konsep 2

Integral Tentu

∫[a,b] f(x)dx — luas terukur antara kurva dan sumbu-x dari a ke b.

Konsep 3

FTC

Teorema Dasar Kalkulus: menghubungkan turunan dan integral secara elegan.

Teknik

Substitusi-u

Teknik utama untuk mengintegralkan fungsi komposit — kebalikan aturan rantai.

∫ Integral Tak Tentu

Anti-Turunan & Konstanta C

Integral tak tentu bertanya: "Fungsi apa yang jika diturunkan menghasilkan f(x)?" Jawabannya selalu punya +C — karena konstanta apapun hilang saat diturunkan.

∫ f(x) dx = F(x) + C di mana F'(x) = f(x)

F(x) = anti-turunan dari f(x). C = konstanta integrasi sembarang.

Kenapa +C? Turunan dari x²+5, x²+100, x²−3 semua menghasilkan 2x. Jadi integral 2x = x² + C, di mana C bisa angka apapun.

📋 Tabel Rumus Integral Dasar

Anti-Turunan yang Wajib Dihafal

f(x)	∫ f(x) dx	Catatan
xⁿ (n≠−1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C	Aturan Pangkat Balik
1/x = x⁻¹	ln\|x\| + C	Kasus khusus n=−1
eˣ	eˣ + C	Integral dirinya sendiri!
sin x	−cos x + C	Perhatikan tanda minus!
cos x	sin x + C	Trigonometri
k (konstan)	kx + C	Konstanta × variabel
cf(x)	c∫f(x)dx	Konstanta keluar dari integral
f±g	∫f dx ± ∫g dx	Pisahkan tiap suku

📐 Integral Tentu & Luas

Dari Jumlahan Riemann ke Integral

Bayangkan membagi area di bawah kurva menjadi batang-batang tipis. Semakin banyak batang (semakin tipis), makin akurat hasilnya. Saat jumlah batang → ∞, kita dapatkan integral tentu!

Jumlahan Riemann — batang tipis mendekati luas sesungguhnya

∫[a ke b] f(x) dx = F(b) − F(a)

Integral tentu dari a ke b = anti-turunan dievaluasi di b minus di a

Catatan penting: Integral tentu bisa negatif! Jika kurva di bawah sumbu-x, "luas"nya negatif. Untuk luas murni, ambil nilai absolut.

⭐ Teorema Dasar Kalkulus (FTC)

Penghubung Turunan & Integral

Implikasi besar: FTC berarti kita bisa menghitung luas dengan mencari anti-turunan — tanpa harus menjumlahkan tak terhingga batang secara manual. Ini terobosan matematika terbesar abad ke-17.

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1 — Integral Tak Tentu

Hitung: ∫ (6x² − 4x + 3) dx

1

Integralkan suku per suku menggunakan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)

2

∫6x² dx = 6 · x³/3 = 2x³

3

∫−4x dx = −4 · x²/2 = −2x²

4

∫3 dx = 3x

5

Gabung: 2x³ − 2x² + 3x + C

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 2 — Integral Tentu

Hitung: ∫[1 ke 3] (2x + 1) dx

1

Cari anti-turunan: ∫(2x+1)dx = x² + x (konstanta C tidak diperlukan di integral tentu)

2

Evaluasi di batas atas (x=3): F(3) = 3² + 3 = 9 + 3 = 12

3

Evaluasi di batas bawah (x=1): F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2

4

Hitung: F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10

Artinya: Luas daerah di bawah garis y = 2x+1, antara x=1 dan x=3, adalah 10 satuan luas.

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 3 — Substitusi-u

Hitung: ∫ 2x · (x² + 1)³ dx

1

Lihat ada fungsi dalam (x²+1) dan turunannya (2x) di luar → cocok substitusi-u.

2

Misalkan: u = x² + 1, maka du = 2x dx

3

Substitusi: ∫ u³ du = u⁴/4 + C

4

Kembalikan ke x: (x²+1)⁴/4 + C

✏️ Soal Latihan

Uji Pemahamanmu

Hasil dari ∫[0 ke 2] 3x² dx adalah…

🥇

Section 02 Selesai!

Integral sudah kamu taklukkan! Dari anti-turunan, luas kurva, substitusi-u, sampai Teorema Dasar Kalkulus — ini adalah separuh kalkulus yang paling indah.

✨ +120 XP — Integral

← Section 01 Summary →