Summary · Cheat Sheet Level 8

📉 Section 01 · Limit & Turunan

📌 Konsep Limit

Limit = nilai yang didekati f(x) saat x mendekati suatu nilai a. Ditulis: lim[x→a] f(x) = L.

Substitusi langsung: Jika f(a) terdefinisi, langsung masukkan. Paling cepat!

Faktorisasi: Bila substitusi menghasilkan 0/0 → faktorkan, coret faktor (x−a), lalu substitusi.

Limit khusus penting: lim[x→0] (sin x / x) = 1 | lim[x→∞] (1 + 1/x)ˣ = e

Notasi Limit

lim[x→a] f(x) = L

x mendekati a, f(x) mendekati L. x tidak harus sama dengan a!

Limit Kiri & Kanan

lim⁻ = lim⁺ → ada

Limit ada ↔ limit kiri = limit kanan. Jika berbeda, limit DNE.

Limit di Tak Hingga

lim[x→∞] c/xⁿ = 0

Suku berderajat lebih rendah menghilang saat x → ∞.

Sifat Limit

lim[f±g] = lim f ± lim g

Limit bisa dipecah untuk penjumlahan, perkalian, dan pembagian.

⚡ Definisi & Makna Turunan

Definisi Formal

f'(x) = lim[h→0] [f(x+h)−f(x)]/h

Laju perubahan sesaat — dari selisih bagi yang diminimumkan.

Notasi Alternatif

dy/dx = d/dx[f(x)]

Notasi Leibniz — sering dipakai di fisika dan teknik.

Makna Geometris

f'(a) = kemiringan singgung

Kemiringan garis singgung kurva y=f(x) di titik x=a.

Makna Fisika

s'(t)=kecepatan, s''(t)=a

Posisi → kecepatan → percepatan, via turunan berlapis.

📋 Aturan Turunan Lengkap

f(x)	f'(x)	Nama
c	0	Konstanta
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	Pangkat
cf(x)	c·f'(x)	Konstanta keluar
f ± g	f' ± g'	Jumlah/Selisih
f · g	f'g + fg'	Perkalian
f / g	(f'g − fg') / g²	Pembagian

f(x)	f'(x)	Keterangan
f(g(x))	f'(g)·g'	Rantai
eˣ	eˣ	Istimewa!
aˣ	aˣ·ln a	Eksponen
ln x	1/x	Log natural
sin x	cos x	Trig
cos x	−sin x	Trig

Titik kritis: Terjadi saat f'(x) = 0 atau f'(x) tidak terdefinisi. Di sinilah nilai maks/min bisa berada.

Uji turunan kedua: f''(a) > 0 → minimum lokal. f''(a) < 0 → maksimum lokal.

∫ Section 02 · Integral

📌 Konsep Inti Integral

Integral tak tentu = anti-turunan. Hasil selalu + C karena konstanta hilang saat diturunkan.

Integral tentu = luas terukur di bawah kurva dari a ke b. Hasilnya angka, bukan fungsi.

FTC: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a) di mana F'(x) = f(x). Anti-turunan dievaluasi di batas.

Luas negatif: Kurva di bawah sumbu-x menghasilkan integral negatif. Untuk luas murni, pakai nilai absolut.

📋 Rumus Integral Dasar

Aturan Pangkat Balik

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Berlaku untuk n ≠ −1. Pangkat naik satu, bagi dengan pangkat baru.

Kasus n = −1

∫(1/x) dx = ln|x| + C

Satu-satunya pengecualian aturan pangkat. Hasilnya logaritma!

Eksponen

∫eˣ dx = eˣ + C

eˣ integral dirinya sendiri — sifat paling ajaib!

Trigonometri

∫sin x dx = −cos x + C

∫cos x dx = sin x + C. Tanda minus di sin penting!

Konstanta keluar

∫c·f(x) dx = c·∫f(x) dx

Konstanta bisa dikeluarkan dari tanda integral.

Linearitas

∫(f±g) dx = ∫f dx ± ∫g dx

Pisahkan tiap suku, integralkan satu-satu.

Integral Tentu

∫[a,b]f dx = F(b)−F(a)

Pakai notasi [F(x)]ₐᵇ untuk evaluasi batas.

Sifat Batas

∫[a,a] = 0 | ∫[b,a] = −∫[a,b]

Membalik batas mengubah tanda. Integral ke diri sendiri = 0.

🔧 Teknik Integrasi

Substitusi-u
Bila ada f(g(x))·g'(x) → misalkan u=g(x), du=g'(x)dx. Kebalikan aturan rantai.

Integral per bagian
∫u dv = uv − ∫v du. Dipakai untuk ∫x·eˣ, ∫x·sin x, dsb.

⭐ Teorema Dasar Kalkulus

d/dx [ ∫[a ke x] f(t) dt ] = f(x)

Turunan dari integral adalah fungsi semula. Diferensial ↔ integral saling kebalikan sempurna.

💡 Tips & Jebakan Umum

Jangan lupa +C di integral tak tentu. Selalu. Tanpa pengecualian.

Aturan rantai sering dilupakan: d/dx[(3x+1)⁵] = 5(3x+1)⁴ · 3. Faktor 3 itu dari turunan dalam!

f'(x)=0 bukan berarti titik ekstrem — bisa juga infleksi. Cek f''(x) untuk konfirmasi.

Integral ≠ luas — integral bisa negatif. Luas selalu positif. Bedakan konteksnya!

← Level Hub ⏱️ Quick Test ✏️ Exercise

Cheat Sheet — Kalkulus Dasar